Las matemáticas tras la física que subyace al universo

Shing-Tung Yau explica cómo descubrió las dimensiones ocultas de la teoría de cuerdas.

Shing-Tung Yau es una fuerza de la naturaleza. Es más conocido por concebir las matemáticas detrás de la teoría de cuerdas – que mantiene que al nivel más profundo de la realidad, nuestro universo está formado por cuerdas vibrantes en diez dimensiones. Pero el genio de Yau va más allá. Ha generado la moderna sinergia entre la geometría y la física, liderando trabajos en equipo sin precedentes en matemáticas, y ha ayudado también a fomentar un renacimiento intelectual en China.

A pesar de haber crecido en la pobreza en una granja de Hong Kong, Yau se abrió camino hasta llegar a la Universidad de California, en Berkeley, donde estudió con el geómetra chino Shiig-She Chern y el maestro de las ecuaciones no lineales, Charles Morrey. Entonces, a la edad de 29 años, Yau demostró la conjetura de Calabi, que postula que la existencia de espacios hexadimensionales ocultos bajo la realidad que percibimos. Estas dimensiones ocultas dan rigor a la teoría de cuerdas complementando las tres dimensiones espaciales y la dimensión temporal descritas en la teoría de la relatividad general de Einstein.

Desde entonces, Yau ha obtenido puestos en el Instituto de Estudios Avanzados, en la Universidad de Stanford, en Harvard (donde dirige actualmente el Departamento de Matemáticas), enseñando a dos generaciones de estudiantes de doctorado y embarcándose en lejanas colaboraciones que van desde la naturaleza de la materia oscura a la formación de los agujeros negros. Yau ha ganado la medalla Fields, una beca MacArthur, y el premio Wolf.

Con todo, Yau ha mantenido una posición franca. En China ha llamado a la jubilación de la vieja guardia académica, para dejar crecer al nuevo talento. En los E.E.U.U. ha criticado lo que considera crasos errores en demostraciones matemáticas de jóvenes académicos. Yau también se ha esforzado por hablar al público; su libro “La forma del espacio interior”, escrito junto con Steve Nadis, se publicará el próximo otoño. Reflexionó en febrero sobre su vida y obra con la editora senior de la revista DISCOVER, Pamela Weintraub, en su oficina de Harvard durante cuatro días.
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Usted es más conocido por su trabajo en la conjetura de Calabi, que en su día fue uno de los mayores problemas sin resolver en las matemáticas de las dimensiones superiores. ¿Qué le llevó a él?

Me sentía arrastrado por los importantes problemas que me daban una visión profunda de la geometría y del espacio-tiempo. A veces, resolviendo un problema, creas una nueva forma de pensar, a veces las propias matemáticas son bellas. El problema con el que trabajé, la conjetura de Calabi, es un enunciado muy elegante sobre la curvatura de las variedades complejas.

¿Qué significa curvatura en este contexto, ya que no estamos hablando del tipo de curvas que observamos normalmente?

La curvatura es información de segundo orden – por ejemplo, supón que estoy conduciendo un coche a lo largo de una curva en una autovía. La velocidad del coche cambiará a medida que recorres la curva, así que puedes medir la curva en base a los cambios en la velocidad a lo largo de dicha línea unidimensional. Del mismo modo, existe también la llamada curvatura de Gauss, que te da la curvatura de una superficie bidimensional multiplicando la curvatura más grande por la curvatura más pequeña de la familia de todas las curvas tangentes a la superficie en dicho punto. Para espacios de dimensiones superiores, como el espacio tridimensional que nos rodea, calculamos la curvatura de todas las superficies bidimensionales que pasan por dicho punto. Finalmente tenemos la curvatura de Ricci, que medimos promediando la curvatura de todas las superficies bidimensionales tangentes entre ellas a lo largo de una dirección común. En esencia, la curvatura de Ricci es una media de una parte de la curvatura total del espacio. Es un concepto geométrico abstracto, pero es fundamental.

¿Por qué es la curvatura de Ricci fundamental?

En física, la curvatura de Ricci es análoga a la materia. El espacio con curvatura de Ricci cero es el vacío.

¿Y cómo está todo esto relacionado con la conjetura de Calabi?

Calabi dijo que determinadas condiciones topológicas requieren la existencia de espacios complejos cerrados y no planos sin curvatura de Ricci en ningún punto. Tales espacios tendrían muchas propiedades maravillosas. Podrías encontrar lazos sub-dimensionales o el toro que describí en mi primer artículo – o podrías encontrar branas (membranas) que se cortan entre sí. Estaba 100 % seguro de que los espacios que Calabi requería no podrían existir. Ningún matemático o físico ha encontrado nunca un ejemplo de estos, y la mayoría de geómetras los consideraban demasiado buenos para ser reales.

¿Y qué hizo después?

Dediqué mucho tiempo a pensar en cómo refutar a Calabi. En 1973 estaba dando clases en SUNY – Stony Brook – y pensando en irme a Stanford. En mayo de aquel año puse mis pertenencias en un pequeño Volkswagen y conduje a lo largo de la autopista 80. Pensaba que E.E.U.U. era un país donde todos viajaban de un lado a otro de éste, pero para mi asombro, mucha gente de la que encontré por el camino me dijeron que nunca habían conducido más allá de diez millas de su pueblo. Crucé las Montañas Rocosas. El coche se averió llegado un punto. Cuando llevaba en Stanford unos meses, pensé que por fin había refutado a Calabi.

Refutar la conjetura de Calabi sería un gran logro; ¿cómo lo anunció?

En agosto había una gran conferencia en Stanford con los mejores geómetras del mundo, incluyendo a Calabi. Hablé con él, y le conté mi idea. Me dijo: “Eso suena genial. ¿Por qué no me das una charla sobre ello?” Estaba programada para las 19 horas, y Calabi llevó a algunos colegas suyos de la Universidad de Pensilvania, y entonces, algunos otros se enteraron, y aún otros cuantos más también se enteraron. Había una pequeña multitud. Hablé alrededor de una hora, y Calabi estaba emocionado. “He estado esperando esto durante mucho tiempo, y espero que sea correcto”, dijo. El resto dijo: “Genial, finalmente podemos dejar de pensar ilusamente que Calabi está en lo cierto”. Entonces Calabi me escribió en octubre. Me dijo: “Estoy intentando reconstruir tu argumento, y estoy encontrando algunas dificultades. ¿Podrías explicarme los detalles?”. Empecé a reconstruirlo y encontré también un problema. Estaba totalmente avergonzado. No respondí a Calabi en ese momento y en vez de eso intenté con todas mis fuerzas parchear la demostración. No pude, así que eché un vistazo para encontrar otros ejemplos donde Calabi estuviese equivocado. No dormí durante dos semanas. Pero cada vez que encontraba un ejemplo que se acercaba, la prueba caía en el último minuto. Al final, dije, ¡hey!, esto no puede ser tan complicado. Tuve entonces, una percepción mucho más profunda del problema y sentí que tenía que tener algo de cierto. Determiné que tenía que ser correcto.

Así que después de todo el trabajo tratando de demostrar que la conjetura de Calabi era errónea, ¿decidió después de todo que era correcta?

Empecé desarrollando las herramientas para entenderla, y en 1975, sólo faltaba una parte de la demostración. Ese año mi mujer consiguió un trabajo en Los Angeles. Me trasladé a la Universidad de Los Ángeles. En un período de tiempo corto nos casamos, compramos un coche, una casa en el valle y tuvimos que buscar los muebles. Mi madre vino de Hong Kong a la boda, y también los padres de mi futura esposa – todos ellos vivieron bajo el mismo techo y se pelearon; fue complicado, una locura. Estaba harto, así que me encerré en el estudio, y pensé en Calabi en vez de en los problemas familiares, y resolví el problema. Repasé tres veces la prueba en detalle, y fui a ver a Calabi a Pensilvania. En un día de navidad nevado, vino conmigo a visitar al matemático Louis Nirenberg, de la Universidad de New York. Pasamos todo el día de navidad con el problema, y dediqué el mes siguiente a escribir la prueba para su publicación.

Las implicaciones fueron enormes. Se hizo famoso en un instante.

Resolvió cerca de una docena de los grandes problemas de la geometría algebraica. Muchas personas me ofrecieron trabajos.

Algunos de los espacios con un número elevado de dimensiones llamados ahora espacios de Calabi-Yau han resultado ser fundamentales en la teoría de cuerdas. ¿Cuál es la conexión?

Cuando Einstein publicó su Teoría de la Relatividad general en 1915, se quería unificar la gravedad con el electromagnetismo. Los matemáticos de entonces pensaron que podrían conseguirlo con cinco dimensiones, cuatro espaciales y una temporal. Pero entonces los físicos encontraron nuevas partículas y necesitaron dimensiones extra para las fuerzas fuerte y débil. Cuando resolvieron todo, determinaron que podían explicar el universo con algo que llamaron Teoría de Cuerdas, que sustituye las partículas puntuales de la física de partículas con cuerdas vibrantes muy pequeñas. Para ser consistente con la teoría cuántica, las cuerdas necesitan diez dimensiones en las que vibrar: tres espaciales, una temporal, y seis dimensiones compactas. Estas dimensiones compactas son tan pequeñas que no las puedes detectar a través de ningún experimento concebible. Tan sólo forman parte de la teoría. Sucede que los espacios de Calabi-Yau de seis dimensiones tienen también características topológicas específicas que satisfacen los requisitos de la teoría de cuerdas. Si esos espacios modelaban el espacio de seis dimensiones requerido por la Teoría de Cuerdas, nos ayudarían a deducir la geometría y, por extensión, las leyes físicas del universo.

Algunas teorías cosmológicas implican la existencia de otros universos. ¿Podría cada espacio de Calabi-Yau describir un conjunto diferente de leyes en dichos universos?

Sí. Cada universo aislado puede ser modelado por un espacio de Calabi-Yau diferente. Pero algunos de mis colegas estudiaron un bonito concepto llamado simetría de espejo, en el que cada espacio tiene una imagen especular con la misma teoría cuántica de campos y la misma física.

¿Cúantos espacios de Calabi-Yau hay?

Usando un programa de ordenador, Philip Candelas, de la Universidad de Texas, en Austin, encontró hasta 10 000 espacios de Calabi-Yau, de los que casi la mitad de ellos eran las imágenes especulares de los otros. Cada miembro de un par es topológicamente diferente, pero todavía se adecua al otro algebraicamente y da lugar a las mismas fuerzas, las mismas partículas y las mismas reglas. La estructura geométrica resultante puede usarse para determinar las cantidades físicas asociadas a cada espacio, como la masa de las partículas.

La Teoría de Cuerdas suele describirse como una manera matemáticamente elegante de explicar toda la física. Pero, ¿cómo podemos saber si describe realmente el universo?

No podemos estar seguros, pero las matemáticas inspiradas por la Teoría de Cuerdas resuelven algunas viejas preguntas. Esa parte es rigurosa y su verdad no puede ser desafiada. Si la estructura de las matemáticas es profunda, resolverá algo de la naturaleza de un modo u otro; es difícil imaginar que una estructura tan profunda no se corresponde con nada. Todo lo fundamental en matemáticas ha tenido al final algún significado en el mundo físico.
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Fuente: cienciakanija.com

Enlace Original: discovermagazine.com